Pruebas de hipótesis en redes

Nota de Traducción

Esta versión del capítulo fue traducida de manera automática utilizando IA. El capítulo aún no ha sido revisado por un humano.

En general, hay muchas formas en las que podemos ver las pruebas de hipótesis dentro del contexto de redes:

  1. Comparar dos o más redes, p. ej., queremos ver si la densidad de dos redes son iguales.

  2. Prevalencia de un motivo/patrón, p. ej., verificar si el número observado de tríadas transitivas es diferente del esperado por casualidad.

  3. Multivariado usando ERGMs, p. ej., probar conjuntamente si la homofilia y las estrellas de dos puntos son los motivos que impulsan la estructura de red.

Esta última ya la revisamos en el capítulo de ERGM. En esta parte, veremos los tipos uno y dos; ambos usando métodos no paramétricos.

Comparando redes

Imagina que tenemos dos grafos, (G_1,G_2) \in \mathcal{G}, y nos gustaría evaluar si una estadística dada s(\cdot), p. ej., densidad, es igual en ambos. Formalmente, nos gustaría evaluar si H_0: s(G_1) - s(G_2) = k vs H_a: s(G_1) - s(G_2) \neq k.

Como es usual, la distribución verdadera de s(\cdot) es desconocida, por lo tanto, un enfoque que podríamos usar es una prueba bootstrap no paramétrica.

Bootstrap de redes

Los métodos bootstrap no paramétrico y jackknife para redes sociales fueron introducidos por (Snijders and Borgatti 1999). El método mismo se usa para generar errores estándar para estadísticas a nivel de red. Ambos métodos están implementados en el paquete de R netdiffuseR.

Cuando la estadística es normal

Cuando tratamos con cosas que están distribuidas normalmente, p. ej., medias muestrales como la densidad1, podemos hacer uso de la distribución de Student para hacer inferencia. En particular, podemos usar Bootstrap/Jackknife para aproximar los errores estándar de la estadística para cada red:

  1. Dado que s(G_i)\sim \text{N}(\mu_i,\sigma_i^2/m_i) para i\in\{1,2\}, en el caso de la densidad, m_i = n_i * (n_i - 1). La estadística es entonces:

    s(G_1) - s(G_0)\sim \text{N}(\mu_1-\mu_0, \sigma_1^2/m_1 + \sigma_1^2/m_2)

    Por lo tanto

    \frac{s(G_1) - s(G_0) - \mu_1 + \mu_2}{\sqrt{\sigma_1^2/{m_1} + \sigma_1^2/{m_2}}} \sim t_{m_1 + m_2 - 2} Pero, si estamos probando H_0: \mu_1 - \mu_2 = k, entonces, bajo la nula

    \frac{s(G_1) - s(G_0) - k}{\sqrt{\sigma_1^2/{m_1} + \sigma_1^2/{m_2}}} \sim t_{m_1 + m_2 - 2} Donde ahora procedemos a aproximar las varianzas.

  2. Usando el principio plugin (Efron and Tibshirani 1994), podemos aproximar las varianzas usando Bootstrap/Jackknife, es decir, calcular \hat\sigma_1^2\approx\sigma_1^2/m_1 y \hat\sigma_2^2\approx\sigma_2^2/m_2. Usando netdiffuseR

    library(netdiffuseR)

# Obtener 100 réplicas
sg1 <- bootnet(g1, function(i, ...) sum(i)/(nnodes(i) * (nnodes(i) - 1)), R = 100)
sg2 <- bootnet(g2, function(i, ...) sum(i)/(nnodes(i) * (nnodes(i) - 1)), R = 100)

# Recuperando las varianzas
hat_sigma1 <- sg1$var_t
hat_sigma2 <- sg2$var_t

# Y los valores reales
sg1 <- sg1$t0
sg2 <- sg2$t0

  3. Con las aproximaciones en mano, podemos entonces usar la “tabla de prueba t” para recuperar el valor correspondiente, en R:

    # Construyendo la estadística
k <- 0 # Para varianzas iguales
tstat <- (sg1 - sg2 - k)/(sqrt(hat_sigma1 + hat_sigma2))

# Calculando el valor p
m1 <- nnodes(g1)*(nnodes(g1) - 1)
m2 <- nnodes(g2)*(nnodes(g2) - 1)
pt(tstat, df = m1 + m2 - 2)

Cuando la estadística NO es normal

En el caso de que la estadística no esté distribuida normalmente, ya no podemos usar la estadística t. Sin embargo, el Bootstrap puede venir a ayudar. Aunque en general es mejor usar distribuciones de estadísticas pivote (ver (Efron and Tibshirani 1994)), aún podemos aprovechar el poder de este método para hacer inferencias. Para este ejemplo, s(\cdot) será el rango del umbral en un grafo de difusión.

Como antes, imagina que estamos tratando con una estadística s(\cdot) para dos redes diferentes, y nos gustaría evaluar si podemos rechazar H_0 o fallar en rechazarla. El procedimiento es muy similar:

  1. Un enfoque que podemos probar es si k \in \text{ConfInt}(s(G_1) - s(G_2)). Construir intervalos de confianza con bootstrap podría ser más intuitivo.

  2. Como antes, usamos bootstrap para generar una distribución de s(G_1) y s(G_2), en R:

    # Obtener 1000 réplicas
sg1 <- bootnet(g1, function(i, ...) range(threshold(i)), R = 1000)
sg2 <- bootnet(g2, function(i, ...) range(threshold(i)), R = 1000)

# Recuperando las distribuciones
sg1 <- sg1$boot$t
sg2 <- sg2$boot$t

# Definir la estadística
sdiff <- sg1 - sg2

  3. Una vez que tenemos sdiff, podemos proceder y calcular el, por ejemplo, 95% intervalo de confianza, y evaluar si k cae dentro. En R:

    diff_ci <- quantile(sdiff, probs = c(0.025, .975))

Esto corresponde a lo que Efron y Tibshirani llaman “intervalo de percentil.” Esto es fácil de calcular, pero un mejor enfoque es usar el método “BCa”, “Corregido por Sesgo y Acelerado.” (TBD)

Ejemplos

Promedio de estadísticas a nivel de nodo

Supón que nos gustaría comparar algo como el grado de entrada promedio. En particular, para ambas redes, G_1 y G_2, calculamos el grado de entrada promedio por nodo:

s(G_1) = \text{GradoEntProm}(G_1) = \frac{1}{n}\sum_{i}\sum_{j\neq i}A^1_{ji}

donde A^1_{ji} es igual a uno si el vértice j envía un vínculo a i. En este caso, dado que estamos viendo un promedio, tenemos que \text{GradoEntProm}(G_1) \sim N(\mu_1, \sigma^2_1/n). Por lo tanto, aprovechando la normalidad de la estadística, podemos construir una estadística de prueba como sigue:

\frac{s(G_1) - s(G_2) - k}{\sqrt{\hat\sigma_{1}^2 + \hat\sigma_{2}^2}} \sim t_{n_1 + n_2 - 2} Donde \hat\sigma_i es el error estándar bootstrap, y k = 0 cuando estamos probando igualdad. Esto se distribuye t con n_1+n_2-2 grados de libertad. Como diferencia del ejemplo anterior usando densidad, los grados de libertad para esta prueba son menores ya que, en lugar de tener un promedio a través de todas las entradas de la matriz de adyacencia, tenemos un promedio a través de todos los vértices.

  1. La densidad es en efecto una media muestral ya que estamos, en principio calculando el promedio de una secuencia de variables de Bernoulli. Formalmente: \text{densidad}(G) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{ij}A_{ij}.↩︎