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Los Modelos Exponenciales de Grafos Aleatorios [ERGMs] pueden representar una variedad de clases de redes. A menudo observamos redes sociales “regulares” como estudiantes en escuelas, colegas en el lugar de trabajo, o familias. No obstante, algunas redes sociales que estudiamos tienen características que restringen cómo pueden ocurrir las conexiones. Ejemplos típicos son grafos bi-partitos y redes multinivel. Hay dos clases de vértices en redes bi-partitas, y los vínculos solo pueden ocurrir entre clases. Por otro lado, las redes multinivel pueden presentar múltiples clases con vínculos entre clases algo restringidos. En ambos casos, existen restricciones estructurales, lo que significa que algunas configuraciones pueden no ser plausibles.
Matemáticamente, lo que estamos tratando de hacer es, en lugar de asumir que todas las configuraciones de red son posibles:
\left\{\mathbf{y} \in \mathcal{Y}: y_{ij} = 0, \forall i = j\right\}
queremos ir un poco más allá evitando bucles, a saber:
donde C es una restricción, por ejemplo, solo redes sin triángulos. El paquete de R ergm tiene capacidades incorporadas para lidiar con algunos de estos casos. No obstante, podemos especificar modelos con restricciones estructurales arbitrarias incorporadas en el modelo. La clave está en usar términos de offset.
Ejemplo 1: Egos entrelazados y alters desconectados
Imagina que tenemos dos conjuntos de vértices. El primero, grupo E, son egos parte de un estudio egocéntrico. El segundo grupo, llamado A, está compuesto por personas mencionadas por egos en E pero que no fueron encuestadas. Asume que individuos en A solo pueden conectarse a individuos en E; además, individuos en E no tienen restricciones para conectarse. En otras palabras, solo existen dos tipos de vínculos: E-E y A-E. La pregunta es ahora, ¿cómo podemos aplicar tal restricción en un ERGM?
Usar offsets, y en particular, establecer coeficientes a -Inf proporciona una forma fácil de restringir el conjunto de soporte de ERGMs. Por ejemplo, si quisiéramos restringir el soporte para incluir redes sin triángulos, agregaríamos el término offset(triangle) y usaríamos la opción offset.coef = -Inf para indicar que las realizaciones que incluyen triángulos no son posibles. Usando R:
En este modelo, un grafo de Bernoulli, reducimos el espacio muestral a redes sin triángulos. En nuestro ejemplo, tal estadística solo debería tomar valores no cero cuando los vínculos dentro de la clase A ocurran. Podemos usar el término nodematch() para hacer eso. Formalmente
Esta estadística sumará sobre todos los vínculos en los que el atributo X de la fuente (i) y el objetivo (j) son iguales. Una forma de hacer que esto suceda es creando una variable auxiliar que sea igual a, p. ej., 0 para todos los vértices en A, y un valor único diferente de cero en caso contrario. Por ejemplo, si tuviéramos 2 As y tres Es, los datos se verían algo así: \{0,0,1,2,3\}. El siguiente bloque de código crea un grafo vacío con 50 nodos, 10 de los cuales están en el grupo E (ego).
library(ergm, quietly =TRUE)library(sna, quietly =TRUE)n <-50n_egos <-10net <-as.network(matrix(0, ncol = n, nrow = n), directed =TRUE)# Asignemos los gruposnet %v%"is.ego"<-c(rep(TRUE, n_egos), rep(FALSE, n - n_egos))net %v%"is.ego"
Para crear la variable auxiliar, usaremos la siguiente función:
# Función que crea una variable auxiliar para el modelo ergmmake_aux_var <-function(my_net, is_ego_dummy) { n_vertex <-length(my_net %v% is_ego_dummy) n_ego_ <-sum(my_net %v% is_ego_dummy)# Creando una variable auxiliar para identificar los vínculos no-informante no-informante my_net %v%"aux_var"<-ifelse(!my_net %v% is_ego_dummy, 0, 1:(n_vertex - n_ego_) ) my_net}
Llamar la función en nuestros datos resulta en lo siguiente:
net <-make_aux_var(net, "is.ego")# Echando un vistazo a las primeras 15 filas de datoscbind(Is_Ego = net %v%"is.ego",Aux = net %v%"aux_var") |>head(n =15)
Como puedes ver, esta red solo tiene vínculos del tipo E-E y A-E. Podemos verificar (i) viendo los conteos y (ii) visualizando cada subgrafo inducido por separado:
# Figurasop <-par(mfcol =c(1, 2))gplot(net_of_alters, vertex.col = net_of_alters %v%"is.ego", main ="A")gplot(net_of_egos, vertex.col = net_of_egos %v%"is.ego", main ="E")
par(op)
Ahora, para ajustar un ERGM con esta restricción, simplemente necesitamos hacer uso de los términos offset. Aquí hay un ejemplo:
ans <-ergm( net_sim ~ edges +offset(nodematch("aux_var")), # El modelo (nota el offset)offset.coef =-Inf# El coeficiente offset )## Starting maximum pseudolikelihood estimation (MPLE):## Obtaining the responsible dyads.## Evaluating the predictor and response matrix.## Maximizing the pseudolikelihood.## Finished MPLE.## Evaluating log-likelihood at the estimate.summary(ans)## Call:## ergm(formula = net_sim ~ edges + offset(nodematch("aux_var")), ## offset.coef = -Inf)## ## Maximum Likelihood Results:## ## Estimate Std. Error MCMC % z value Pr(>|z|) ## edges -3.0829 0.1638 0 -18.83 <1e-04 ***## offset(nodematch.aux_var) -Inf 0.0000 0 -Inf <1e-04 ***## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## ## Null Deviance: 3396.4 on 2450 degrees of freedom## Residual Deviance: 320.2 on 2448 degrees of freedom## ## AIC: 322.2 BIC: 327 (Smaller is better. MC Std. Err. = 0)## ## The following terms are fixed by offset and are not estimated:## offset(nodematch.aux_var)
Este modelo ERGM–que por cierto solo presentaba términos diádicos independientes, y por lo tanto puede reducirse a una regresión logística–restringe el soporte excluyendo todas las redes en las que existen vínculos dentro de la clase A. Para finalizar, veamos algunas simulaciones basadas en este modelo:
set.seed(1323)op <-par(mfcol =c(2,2), mar =rep(1, 4))for (i in1:4) {gplot(simulate(ans), vertex.col = net %v%"is.ego", vertex.cex =2)box()}
par(op)
Todas las redes sin vínculos entre nodos A.
Ejemplo 2: Redes bi-partitas
En el caso de redes bipartitas (a veces llamadas redes de afiliación,) podemos usar los términos de ergm para grafos bipartitos para corroborar lo que discutimos aquí. Por ejemplo, el término de dos estrellas. Comencemos simulando una red bipartita usando los parámetros edges y two-star. Dado que el término k-star usualmente es complejo de ajustar (tiende a generar modelos degenerados,) aprovecharemos la función de transformación Log() en el paquete ergm para suavizar el término.1
La red bipartita que estaremos simulando tendrá 100 actores y 50 entidades. Los actores, que mapearemos al primer nivel de los términos ergm, esto es, b1starb1nodematch, etc. enviarán vínculos a las entidades, el segundo nivel del ERGM bipartito. Para crear una red bipartita, crearemos una matriz vacía de tamaño nactors x nentitites; por lo tanto, los actores están representados por filas y las entidades por columnas.
# Parámetros para la simulaciónnactors <-100nentities <-floor(nactors/2)n <- nactors + nentities# Creando una red bipartita vacía (línea base)net_b <-network(matrix(0, nrow = nactors, ncol = nentities), bipartite =TRUE)# Simulando el ERGM bipartito,net_b <-simulate(net_b ~ edges +Log(~b1star(2)), coef =c(-3, 1.5), seed =55)
Nota que los primeros nactors vértices en la red son los actores, y los restantes son las entidades. Ahora, aunque el paquete ergm presenta términos de red bipartita, aún podemos ajustar un ERGM bipartito sin declarar explícitamente el grafo como tal. En tal caso, el término b1star(2) de una red bipartita es equivalente a un ostar(2) en un grafo dirigido. De manera similar, b2star(2) en un grafo bipartito coincide con el término istar(2) en un grafo dirigido. Esta información será relevante al ajustar el ERGM. Transformemos la red bipartita en un grafo dirigido. El siguiente bloque de código hace eso:
# Identificando los enlacesnet_not_b <-which(as.matrix(net_b) !=0, arr.ind =TRUE)# Necesitamos compensar el punto final de los vínculos por nactors# para que los ids vayan de 1 hasta (nactors + nentitites)net_not_b[,2] <- net_not_b[,2] + nactors# El grafo resultante es una red dirigidanet_not_b <-network(net_not_b, directed =TRUE)
Ahora casi hemos terminado. Como antes, necesitamos usar covariables a nivel de nodo para poner las restricciones en nuestro modelo. Para que este ERGM refleje un ERGM en una red bipartita, necesitamos dos restricciones:
Solo se permiten vínculos de actores a entidades, y
las entidades solo pueden recibir vínculos.
Los términos offset correspondientes para este modelo son: nodematch("is.actor") ~ -Inf, y nodeocov("isnot.actor") ~ -Inf. Matemáticamente:
En otras palabras, estamos estableciendo que los vínculos entre nodos de la misma clase están prohibidos, y los vínculos salientes están prohibidos para las entidades. Creemos los atributos de vértice necesarios para usar los términos mencionados:
# Viendo los conteossummary(net_b ~ edges +b1star(2) +b2star(2))
edges b1star2 b2star2
245 313 645
summary(net_not_b ~ edges +ostar(2) +istar(2))
edges ostar2 istar2
245 313 645
Con las dos redes coincidiendo, ahora podemos ajustar los ERGMs con y sin términos offset y comparar los resultados entre los dos modelos:
# ERGM con un grafo bipartitores_b <-ergm(# Fórmula principal net_b ~ edges +Log(~b1star(2)),# Parámetros de controlcontrol =control.ergm(seed =1) )
Warning: 'glpk' selected as the solver, but package 'Rglpk' is not available;
falling back to 'lpSolveAPI'. This should be fine unless the sample size and/or
the number of parameters is very big.
# ERGM con un digrafo con restriccionesres_not_b <-ergm(# Fórmula principal net_not_b ~ edges +Log(~ostar(2)) +# Términos offset offset(nodematch("is.actor")) +offset(nodeocov("isnot.actor")),offset.coef =c(-Inf, -Inf),# Parámetros de controlcontrol =control.ergm(seed =1) )
Aquí están las estimaciones (usando el paquete de R texreg para una salida más bonita):
Como se esperaba, ambos modelos producen la “misma” estimación. Las diferencias menores observadas entre los modelos son cómo el paquete ergm realiza el muestreo. En particular, en el caso bipartito, ergm tiene rutinas especiales para hacer el muestreo más eficiente, teniendo una tasa de aceptación más alta que la del modelo en el que el grafo bipartito no fue explícitamente declarado. Podemos decir esto inspeccionando las tasas de rechazo:
El ERGM ajustado con los términos offset tiene una tasa de rechazo mucho más alta que la del ERGM ajustado con el ERGM bipartito.
Finalmente, el hecho de que podamos ajustar ERGMs usando offset no significa que necesitemos usarlo TODO el tiempo. A menos que haya una muy buena razón para evitar las capacidades de ergm, no recomendaría ajustar ERGMs bipartitos como acabamos de hacer, ya que los autores del paquete han incluido (MUCHAS) características para hacer nuestro trabajo más fácil.
Después de escribir este ejemplo, se hizo aparente que el uso de la función de transformación Log() puede no ser ideal. Dado que muchos términos usados en ERGMs pueden ser cero, p. ej., triángulos, el término Log(~ ostar(2)) está indefinido cuando ostar(2) = 0. En la práctica, el paquete ERGM establece un límite inferior para el log de 0, así que, en lugar de tener Log(0) ~ -Inf, lo establecen como un número negativo realmente grande. Esto causa todo tipo de problemas a las estimaciones; en nuestro ejemplo, una sobreestimación del parámetro poblacional y una log-verosimilitud positiva. Por lo tanto, no recomendaría usar esta transformación muy a menudo.↩︎
